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特征值与秩的关系 相关定理有哪些

高中教育 更新时间:发布时间: 百科书网 趣学号

特征值与秩的关系:如果矩阵可以对角化,那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩;如果矩阵不可以对角化,这个结论就不一定成立。为讨论方便,设A为m阶方阵。证明,设方阵A的秩为n。无论特征值里有没0,A的行列式都为所有特征值的乘积。(文章内容来源于网络,仅供参考)


特征值与秩的关系 相关定理有哪些

特征值与秩的关系

特征值是指设A是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量x,使得Ax=mx成立,则称m是A的一个特征值(characteristic value)或本征值(eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于(对应于)特征值m的特征向量或本征向量,简称A的特征向量或A的本征向量。

秩是线性代数术语。在线性代数中,一个矩阵的秩是其非零子式的最高阶数,一个向量组的秩则是其最大无关组所含的向量个数。在解析几何中,矩阵的秩可用来判断空间中两直线、两平面及直线和平面之间的关系;在控制论中,矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的(或可观察的)。

特征值与秩的关系:如果矩阵可以对角化,那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩;如果矩阵不可以对角化,这个结论就不一定成立。

特征值与秩的相关定理

定理1:n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

定理2:设A为n阶实对称矩阵,则A必能相似对角化。

定理3:设A为n阶实对称矩阵,矩阵的秩r(A)=k,(0

定理4:设A为n阶方阵,矩阵的秩r(A)=k,(0

定理5:设A为n阶方阵,矩阵的秩r(A)=k,(0

定理6:设A为n阶方阵,矩阵的秩rf(A)=k,(0

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